Algebraische Topologie by Prof. Dr. Karl Heinz Mayer (auth.) PDF

By Prof. Dr. Karl Heinz Mayer (auth.)

ISBN-10: 3034892691

ISBN-13: 9783034892698

ISBN-10: 3764322292

ISBN-13: 9783764322298

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2 ist die Vereinigung von X mit dem Intervall {CO, y) I - 1 ~ y ~ I}, also X = X U {( x, y) E lR2 I x = 0 und - 1 ~ y ~ I}. 7 ist X zusammenhangend. X ist jedoch nicht wegweise zusammenhangend. Zum Beweis nimmt man an, daB es einen Weg e : I - X gibt mit c(O) = (0,0) und e(l) = (~,O). c ist stetig genau dann, wenn 71'10 e und 71'2 0 c beide stetig sind, wo 71'1 : lR2 _ lR und 71'2 : lR2 - lR definiert sind durch 71'l(X,y) = x bzw. 71'2(X,y) = y. 1)1I' fur n = 2,3, .... Daher nimmt 71'2 0 e in jeder Umgebung von 0 die Werte +1 und -1 an, und es gibt kein 8 > 0, so daB [0,8[ durch 71'2 0 e ganz in J - ~, ~ [ abgebildet wird.

X sei ein topologischer Raum. ~A von Teilmengen von X mit der Eigenschaft, daB U U~ = X ist. Eine Uberdeckung (U~)~EA von X heiBt offene (abgeschlos~EA sene) Uberdeckung, wenn alle U~ offene (abgeschlossene) Teilmengen von X sind. 2 Deftnition. Ein topologischer Raum X heiBt quasikompakt, wenn jede offene Uberdeckung von X eine endliche Uberdeckung enthiilt. Das heiBt zu jeder offenen Uberdeckung (U~h~A von X existiert eine endliche Teilmenge K von A, so daB (U~hEK eine Uberdeckung von X ist. Ein topologischer Raum heiBt kompakt, wenn er quasikompakt und hausdorffsch ist.

Da (]J kein Intervall aus Dl mit wenigstens zwei Punkten enthiilt, ist K( q) = {q}. 14 Satz. Fur jede stetige Abbildung f : X - t Y eines topologischen Raumes X in einen topologischen Raum Y gilt: Das Bild jeder Zusammenhangskomponente aus X liegt in einer Zusammenhangskomponente aus Y. Wenn f ein Homoomorphismus ist, induziert f eine bijektive Abbildung zwischen den Zusammenhangskomponenten. Entsprechende Zusammenhangskomponenten werden dann unter f homoomorph aufeinander abgebildet. 9 zusammenhangend, und daher ist f(K(X» C K(f(x».

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